Logika Matematika

1.1.    Pengertian Logika Matematika

Suatu metode atau teknik yang di ciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal untuk menyampaikan pemikiran  tersebut  seseorang menggunakan kalimat. Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenal logo\ika. Dengan logika kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.

1.2.    Pernyataan dan Kalimat Matematika

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat di tentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

Dasar Empiris yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau di jumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:

1.ibu kota jawa tengah adalah semarang.(benar)

2. Air adalah benda padat. (salah)

Dasar Tak Empiris yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataandengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

contoh:

1.  “akar persamaan 3x-1+5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

2. “jika x,>1, maka x>2” merupakan pernyataan salah.

Kalimat Terbukaadalah kalimat yang memuat peubah?variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

1.3.    Macam-macam Logika Matematika

1.3.1 Negasi atau Ingkaran

     Negasi adalah pernyataan yang dibentuk dari pernyataan baru dengan membubuhkan kata bukan pada pernyataan semula. Pernyataan ini dilambangkan dengan (~), ~p (bukan p).

contoh:

1.    Ingkaran dari q: 11 adalah bilangan prima.

2.    Ingkaran dari p: Putri memakai baju merah.

jawab:

1.    ~q: Tidak benar 11 adalah bilangan prima

atau

~q: 11 bukan bilangan prima

2.    ~p: Tidak benar bahwa putri memakai baju putih,

atau

~p: Putri tidak memakai baju putih.

p    ~p

B    S

S    B

Keterangan:    * Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar,  maka ~p bernilai salah.

    * Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah,  maka ~p bernilai benar.

1.3.2 Konjungsi

     Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua prnyataan p dan q  yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Pernyataan ini dilambangkan dengan (˄), p ˄  q (p dan q).

contoh:

1.    p: Ir. Soekarno adalah Presiden pertama Republik Indonesia (B)

q: Ir. Soekarno tinggal di Jakarta (B)

p ˄ q: Ir. Soekarno adalah Presiden pertama Republik Indonesia dan tinggal di Jakarta (B)

2.    p: Ir. Soekarno adalah Presiden pertama Republik Indonesia (B)

q: Ir. Soekarno tinggal di Bandung (S)

p ˄ q: Ir. Soekarno adalah Presiden pertama Republik Indonesia dan tinggal di Bandung (S)

3.    p: Ir. Soekarno bukan Presiden pertama Republik Indonesia (S)

q: Ir. Soekarno tinggal di Jakarta (B)

p ˄ q: Ir.Soekarno bukan Presiden pertama Republik Indonesia dan tinggal di Jakarta (S)

4.    p: Ir. Soekarno bukan Presiden pertama Republik Indonesia (S)

q: Ir. Soekarno tinggal di Bandung (S)

p ˄ q: Ir.Soekarno bukan Presiden pertama Republik Indonesia dan tinggal di Bandung (S)

 

p    q    p ˄ q

B    B    B

B    S    S

S    B    S

S    S    S

Keterangan:    * dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar.

1.3.3 Disjungsi

    Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua prnyataan p dan q  yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Pernyataan ini dilambangkan dengan (v), p v q (p atau q).

contoh:

1.    p: Tiga adalah bilangan prima (B)

q: Tiga adalah bilangan ganjil (B)

p v q: Tiga adalah bilangan prima atau tiga adalah bilangan ganjil (B)

2.    p: Tiga adalah bilangan prima (B)

q: Tiga bukan bilangan ganjil (S)

p v q: Tiga adalah bilangan prima atau bukan bilangan ganjil (B)

3.    p: Tiga bukan bilangan prima (S)

q: Tiga adalah bilangan ganjil (B)

p v q: Tiga bukan bilangan prima atau tiga adalah bilangan ganjil (B)

4.    p: Tiga bukan bilangan prima (S)

q: Tiga bukan bilangan ganjil (S)

p v q: Tiga bukan bilangan prima atau bukan bilangan ganjil (S)

 

p    q    p v q

B    B    B

B    S    B

S    B    B

S    S    S

Keterangan:    * dua pernyataan p dan q bernilai salah hanya jika kedua komponennya bernilai salah.

1.3.4 Implikasi

     Implikasi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan  p dan q  yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika p maka q”. Pernyataan ini dilambangkan dengan  (=>), p ˅ q (jika p maka q).

implikasi dua pernyataan  p => q  bernilai salah hanya jika p  bernilai benar disertai  q bernilai salah.

contoh:

1.    p: Cirebon terletak di Provinsi Jawa Barat (B)

q: Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa Barat (B)

p => q: Jika Cirebon terletak di Provinsi Jawa Barat, maka Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa Barat (B)

2.    p: Cirebon terletak di Provinsi Jawa Barat (B)

q: Cirebon ibukota Provinsi Jawa Barat (S)

p => q: Jika Cirebon terletak di Provinsi Jawa Barat, maka Cirebon ibukota Provinsi Jawa Barat (S)

3.    p: Cirebon terletak Di Provinsi Jawa Tengah (S)

q: Bandung ibukota Provinsi Jawa Barat (B)

p => q: Jika Cirebon terletak di Provinsi Jawa Tengah, maka Bandung ibukota Provinsi Jawa Barat (B)

4.    p: Cirebon terletak Di Provinsi Jawa Tengah (S)

q: Cirebon ibukota Provinsi Jawa Barat (S)

p => q: Jika Cirebon terletak Di Provinsi Jawa Tengah, maka Cirebon ibukota Provinsi Jawa Barat (S)

 

p    q    p => q

B    B    B

B    S    S

S    B    B

S    S    B

Keterangan:    * dua pernyataan p => q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah (dalam kemungkinan yang lainnya p => q dinyatakan benar).

1.3.5 Biimplikasi

     Biimplikasi adalah pernyataan  p dan q  yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung

 “jika dan hanya jika” sehingga diperoloeh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan ini dilambangkan dengan (<=>), p <=>  q (p jika dan hanya jika q).

contoh:

1.    p: Wanita umumnya memakai anting (B)

q: Laki-laki tidak pernah hamil (B)

p => q: Wanita umumnya memakai anting jika dan hanya jika Laki-laki tidak pernah hamil  (B)

2.    p: Wanita umumnya memakai anting (B)

q: Laki-laki pernah hamil (S)

p => q: Wanita umumnya memakai anting jika dan hanya jika Laki-laki pernah hamil (S)

3.    p: Wanita umumnya tidak memakai anting (S)

q: Laki-laki tidak pernah hamil (B)

p => q: Wanita umumnya tidak memakai anting jika dan hanya jika Laki-laki tidak pernah hamil  (S)

4.    p: Wanita umumnya tidak memakai anting (S)

q: Laki-laki pernah hamil (S)

p => q: Wanita umumnya tidak memakai anting jika dan hanya jika Laki-laki pernah hamil  (S)

 

p    q    p <=> q

B    B    B

B    S    S

S    B    S

S    S    B

Keterangan:    * dua pernyataan p <=> q bernilai benar  jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

    * dua pernyataan p <=> q bernilai salah  jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama.

2.    Pangkat

2.1 Pengertian Pangkat

Bentuk pangkat dapat digunakan untuk memudahkan penulisan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalkan, kita tidak mungkin menuliskan angka 71900000000000 ke bentuk sebenarnya karena angka tersebut terlalu besar. Lalu, bagaimana membuat angka tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana sehingga mudah diingat bagi orang yang membacanya.inilah salah satu kegunaan pangkat, kit adapat menuliskan angka 71900000000000 ke bentuk 7,19x1014.

Sedangkan contoh bilangan yang sangat kecil yang dapat dinyatakan sebagai bilangan berpangkat adalah 0,0000000000071. kita tidak mungkin menuliskan angka tersebut ketika kita menjawab soal yang memerlukan penyelesaiannya, tentu saja bilangan ini harus diubah kedalam bentuk pangkat yaitu 7,1x1012.

Pengertian pangkat itu sendiri adalah suatu bentuk bilangan sederhana yang memudahkan penulisan bilangan-bilangan yang sangat besar ataupun kecil.

2.2 Pangkat Bulat Positif

Dalam pernyataan 2n, 2 disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Istilah lain dari pangkat adalah eksponen. Sedangkan makna dari 26 adalah 2x2x2x2x2x2.

Dari pernyataan diatas kita dapat mengambil definisi dari bilangan bulat positif, jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan abilangan real maka an didefinisikan sebagai perkalian n faktor yang masing-masing faktornya ialah a.

2.3 Pangkat Bulat Negatif

Konsep pangkat bulat negatif dapat dipahami melalui konsep pangkat bulat positif. Pangkat bulat positif merupakan cara ringkas untuk menuliskan perkalian dari bilangan-bilangan yang sama. Perkalian bilangan-bilangan yang sama disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat ditulidksn secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen.

Contohnya: Perkalian berulang 2x2x2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23. Bentuk 23 adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, 2 disebut bilangan pokok sedangkan 3 disebut pangkat.

2.4 Pangkat Pecahan

Bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi am/n,dengan m dan n bilangan bulat, a bilangan real dan a ≠ 0. Contohnya a1/2, a-1/2, a6/3, a-3/2

2.5 Sifat-sifat Pangkat Rasional

Operasi aljabar (perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan dan perpangkatan) pada bilangan berpangkat rasional memenuhi sifat-sifat tertentu. Sifat-sifat tersebut dapat dikaji melalui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif.

Sifat-sifat bilangan berpangkat dengan pangkat bulat berlaku pula pada bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan. Kita ingat bahwa bilangan bulat dan bilangan pecahan membentuk himpunan bilangan rasional. Dengan demikian, sifat-sifat bilangan berpangkat dengan pangkat rasional dapat dirangkum sebagai berikut:

    Jika a dan b € R (a ≠ 0, b ≠ 0), p dan q bilangan rasional, maka berlaku;

    a) ap x aq = ap+q

    b) ap : aq = ap-q

    c) (a x b)p = ap x bp

2.6 Sifat-sifat Pangkat Bulat

   

Sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif yang terangkum dalam hubungan matematika 1-11 ternyata juga berlaku pada bilangan pangkat bulat negatif, kecuali hubungan 1-11f. Kita ingat bahwa bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan bilangan nol membentuk himpunan bilangan bulat. Oleh karena itu, hubungan 1-11 (kecuali 1-11f) berlaku untuk bilangan pangkat bulat seperti diperlihatkan pada beberapa contoh berikut:     

a)    3-2 x 3-3  = 3-2+(-3) = 3-5

b)    4-9 : 4-5 = 4-9-(-5) = 4-4

c)    (5-3)-4 = 5(-3)x(-4) = 512

3.    Akar

Bilangan irasional dalam bentuk akar dapat pula kita jumpai dalam mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat.  Sebagai contoh, persamaan kuadrat x2-2=0 mempunyai penyelesaian x=-2 atau x=2. Bilangan-bilangan -2 atau 2 merupakan contoh bilangan irasional dalam bentuk akar. Beberapa contoh dari bilangan irasional dalam bentuk akar yang lain adalah 3, 6, 7, 34,35,310, dan lain sebagainya. Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

contoh: Diantara bilangan bilangan-bilangan berikut ini, manakah yang merupakan bentuk akar?

a. √6 = merupakan bentuk akar

b. √0,16 = bukan merupakan bentuk akar sebab √0,√16 =√ (0,4)2 = 0,4.

c. 3√64 = bukan bentuk akar sebab 3√64 = 3√(4)3 =4.

Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana. Penyederhanaan itu dapat dilakukan dengan cara menyatakan bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan, Satu di antara kedua bilangan iyu harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

    Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku

       

√(a x b)  = √ a x √b

    dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Contoh: sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini.

a.    √108 = √(36x3) = √36 x √3 = 6√3

b.    √4a3b = √(4a2xab) = √4a2 x √ab = 2a√ab

c.    √8a2b3c5 = √(4a2b2c4 x 2bc) = √4a2b2c4 x √2bc = 2abc2 √2bc